\documentclass[handout]{slide}



\renewcommand{\mytitle}{第十二章\quad 无穷级数}
\renewcommand{\mysubtitle}{第八节\quad 一般周期函数的傅里叶级数}
\graphicspath{{./images}}

\begin{document}

\section{周期为 $2 l$ 的周期函数的傅里叶级数}
\begin{frame}{周期为 $2 l$ 的周期函数的傅里叶级数}
上节所讨论的周期函数都是以 $2 \pi$ 为周期的，但是实际问题中所遇到的周期函数， 它的周期不一定是 $2 \pi$. 例如上节中提到的矩形波， 它的周期是 $T=\frac{2 \pi}{\omega}$. 因此， 本节我们讨论周期为 $2 l$ 的周期函数的傅里叶级数。 根据上节讨论的结果， 经过自变量的变量代换，可得下面的定理：

\begin{theorem*}
  设周期为 $2 l$ 的周期函数 $f(x)$ 满足收敛定理的条件，则它的傅里叶级数展开式为
  \[\tag{8-1}
f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n} \cos \frac{n \pi x}{l}+b_{n} \sin \frac{n \pi x}{l}\right) \quad(x \in C)
\]
其中
\begin{gather*}
  \left.\begin{array}{cc}
    a_{n}=\frac{1}{l} \int_{-l}^{l} f(x) \cos \frac{n \pi x}{l} \mathrm{~d} x & (n=0,1,2, \cdots), \\
      b_{n}=\frac{1}{l} \int_{-l}^{l} f(x) \sin \frac{n \pi x}{l} \mathrm{~d} x & (n=1,2,3, \cdots),
  \end{array}\right\}\tag{8-2} \\
  C=\left\{x \left\lvert\, f(x)=\frac{1}{2}\left[f\left(x^{-}\right)+f\left(x^{+}\right)\right]\right.\right\} .
\end{gather*}
\end{theorem*}
\end{frame}


\begin{frame}

  \begin{theorem*}[\theoremname (续)]
当 $f(x)$ 为奇函数时，
\[\tag{8-3}
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} b_{n} \sin \frac{n \pi x}{l} \quad(x \in C)
\]
其中
\[\tag{8-4}
b_{n}=\frac{2}{l} \int_{0}^{l} f(x) \sin \frac{n \pi x}{l} \mathrm{~d} x \quad(n=1,2,3, \cdots) .
\]
当 $f(x)$ 为偶函数时，
\[\tag{8-5}
f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \cos \frac{n \pi x}{l} \quad(x \in C)
\]
其中
\[\tag{8-6}
a_{n}=\frac{2}{l} \int_{0}^{l} f(x) \cos \frac{n \pi x}{l} \mathrm{~d} x \quad(n=0,1,2, \cdots) .
\]\end{theorem*}
\end{frame}
\begin{frame}
  \begin{proof}
  作变量代换 $z=\frac{\pi x}{l}$,于是区间 $-l \leqslant x \leqslant l$ 就变换成 $-\pi \leqslant z \leqslant \pi$. 设函数 $f(x)=f\left(\frac{l z}{\pi}\right)=F(z)$, 从而 $F(z)$ 是周期为 $2 \pi$ 的周期函数， 并且它满足收玫定理的条件， 将 $F(z)$ 展开成傅里叶级数
  \[
  F(z)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n} \cos n z+b_{n} \sin n z\right)
\]
其中
\[
a_{n}=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} F(z) \cos n z \mathrm{~d} z, \quad b_{n}=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} F(z) \sin n z \mathrm{~d} z .
\]
在以上式子中令 $z=\frac{\pi x}{l}$, 并注意到 $F(z)=f(x)$, 于是有
\[
f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n} \cos \frac{n \pi x}{l}+b_{n} \sin \frac{n \pi x}{l}\right)
\]
而且
\[
a_{n}=\frac{1}{l} \int_{-l}^{l} f(x) \cos \frac{n \pi x}{l} \mathrm{~d} x, \quad b_{n}=\frac{1}{l} \int_{-l}^{l} f(x) \sin \frac{n \pi x}{l} \mathrm{~d} x .
\]

类似地， 可以证明定理的其余部分。
\end{proof}
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{example}
  设 $f(x)$ 是周期为 4 的周期函数， 它在 $[-2,2)$ 上的表达式为
  \[
    f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
          0, & -2 \leqslant x<0, \\
          h, & 0 \leqslant x<2
    \end{array} \quad(\text { 常数 } h \neq 0) .\right.
\]
将 $f(x)$ 展开成傅里叶级数， 并作出级数的和函数的图形。
\end{example}
\begin{solution}
这时 $l=2$, 按公式 (8-2) 有
\[
  \begin{aligned}
      a_{n}&= \frac{1}{2} \int_{0}^{2} h \cos \frac{n \pi x}{2} \mathrm{~d} x=\left[\frac{h}{n \pi} \sin \frac{n \pi x}{2}\right]_{0}^{2}=0 \quad(n \neq 0) ; \\
      a_{0}&= \frac{1}{2} \int_{-2}^{0} 0 \mathrm{~d} x+\frac{1}{2} \int_{0}^{2} h \mathrm{~d} x=h ; \\
    b_{n}&= \frac{1}{2} \int_{0}^{2} h \sin \frac{n \pi x}{2} \mathrm{~d} x=\left[-\frac{h}{n \pi} \cos \frac{n \pi x}{2}\right]_{0}^{2} \\
  &= \frac{h}{n \pi}(1-\cos n \pi)= \begin{cases}\frac{2 h}{n \pi}, & n=1,3,5, \cdots, \\ 0, & n=2,4,6, \cdots .\end{cases}
\end{aligned}
\]
将求得的系数 $a_{n}, b_{n}$ 代人 (8-1) 式， 得
\end{solution}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{solution}[续]
    \[
  \begin{aligned}
    f(x)&= \frac{h}{2}+\frac{2 h}{\pi}\left(\sin \frac{\pi x}{2}+\frac{1}{3} \sin \frac{3 \pi x}{2}+\frac{1}{5} \sin \frac{5 \pi x}{2}+\cdots+\frac{1}{2 n-1} \sin \frac{(2 n-1) \pi x}{2}+\cdots\right) \\
  &\quad (-\infty<x<+\infty ; x \neq 0, \pm 2, \pm 4, \cdots)
\end{aligned}
\]
  \end{solution}
级数的和函数的图形如图 12-15 所示。

\begin{figure}
  \centering
  \begin{subfigure}{.27\textwidth}
    \includegraphics[max width=\textwidth]{2024_01_20_295afa09a60caa30a9eag-69}
  \caption*{图 12-15}
\end{subfigure}
\hskip 5em
\begin{subfigure}{.27\textwidth}
\includegraphics[max width=\textwidth]{2024_01_20_295afa09a60caa30a9eag-69(1)}
\caption*{图 12-16}
\end{subfigure}
\end{figure}
\begin{example}
将如图 12-16 所示的函数
\[
M(x)= \begin{cases}\frac{p x}{2}, & 0 \leqslant x<\frac{l}{2}, \\ \frac{p(l-x)}{2}, & \frac{l}{2} \leqslant x \leqslant l\end{cases}
\]
分别展开成正弦级数和余弦级数。
\end{example}
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{solution}
   $M(x)$ 是定义在 $[0, l]$ 上的函数，要将它展开成正弦级数， 必须对 $M(x)$ 进行奇延拓。 按公式 (8-4) 计算延拓后的函数的傅里叶系数
  \[
     \begin{aligned}
        b_{n} & =\frac{2}{l} \int_{0}^{l} M(x) \sin \frac{n \pi x}{l} \mathrm{~d} x \\
       & =\frac{2}{l}\left[\int_{0}^{\frac{l}{2}} \frac{p x}{2} \sin \frac{n \pi x}{l} \mathrm{~d} x+\int_{\frac{l}{2}}^{l} \frac{p(l-x)}{2} \sin \frac{n \pi x}{l} \mathrm{~d} x\right] .
    \end{aligned}
   \]
  对上式右端的第二项， 令 $t=l-x$, 则
 \[
    \begin{aligned}
       b_{n} & =\frac{p}{l}\left[\int_{0}^{\frac{l}{2}} x \sin \frac{n \pi x}{l} \mathrm{~d} x+\int_{\frac{l}{2}}^{0} t \sin \frac{n \pi(l-t)}{l}(-\mathrm{d} t)\right] \\
      & =\frac{p}{l}\left[\int_{0}^{\frac{l}{2}} x \sin \frac{n \pi x}{l} \mathrm{~d} x+(-1)^{n+1} \int_{0}^{\frac{l}{2}} t \sin \frac{n \pi t}{l} \mathrm{~d} t\right] .
     \end{aligned}
    \]
  \end{solution}
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{solution}[续]

   当 $n=2 k$ 为偶数时， $b_{2 k}=0$; 当 $n=2 k-1$ 为奇数时，
  \[
     \begin{aligned}
          b_{2 k-1}&= \frac{2 p}{l} \int_{0}^{\frac{l}{2}} x \sin \frac{(2 k-1) \pi x}{l} \mathrm{~d} x=\frac{2 p l}{(2 k-1)^{2} \pi^{2}} \sin \frac{2 k-1}{2} \pi \\
       &= \frac{2 p l(-1)^{k-1}}{(2 k-1)^{2} \pi^{2}} .
      \end{aligned}
     \]
    将求得的 $b_{n}$ 代人 (8-3) 式， 得 $M(x)$ 的正弦级数展开式为
   \[
    M(x)=\frac{2 p l}{\pi^{2}} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{(2 k-1)^{2}} \sin \frac{(2 k-1) \pi x}{l} \quad(0 \leqslant x \leqslant l) .
   \]
  \end{solution}
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{solution}[续]
    再求 $M(x)$ 的余弦级数展开式。 为此对 $M(x)$ 作偶延拓， 再作周期延拓。 注意到延拓所得周期函数的周期为 $l$,知 $M(x)$ 可展开成周期为 $l$ 的余弦级数。 按公式 (8-6) (将 (8-6) 中的 $l$ 换成 $\frac{l}{2}$) 计算傅里叶系数：
  \[
\begin{aligned}
      a_{n} & =\frac{4}{l} \int_{0}^{\frac{l}{2}} M(x) \cos \frac{2 n \pi x}{l} \mathrm{~d} x=\frac{4}{l} \int_{0}^{\frac{l}{2}} \frac{p x}{2} \cos \frac{2 n \pi x}{l} \mathrm{~d} x \\
        & =\frac{2 p}{l}\left[\frac{l}{2 n \pi} x \sin \frac{2 n \pi x}{l}+\left(\frac{l}{2 n \pi}\right)^{2} \cos \frac{2 n \pi x}{l}\right]_{0}^{\frac{l}{2}} \\
          & =\frac{p l}{2 n^{2} \pi^{2}}(\cos n \pi-1)= \begin{cases}-\frac{p l}{n^{2} \pi^{2}}, & n=1,3,5, \cdots, \\
            0, & n=2,4,6, \cdots .\end{cases} \\
          a_{0} & =\frac{4}{l} \int_{0}^{\frac{l}{2}} \frac{p x}{2} \mathrm{~d} x=\frac{p l}{4} .
      \end{aligned}
  \]
将求得的 $a_{n}$ 代人 (8-5) 式，得
\[
M(x)=\frac{p l}{8}-\frac{p l}{\pi^{2}} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(2 k-1)^{2}} \cos \frac{2(2 k-1) \pi x}{l} \quad(0 \leqslant x \leqslant l) .
\]
\end{solution}
\end{frame}


\section{傅里叶级数的复数形式}
\begin{frame}{傅里叶级数的复数形式}

傅里叶级数还可以用复数形式表示。 在电子技术中， 经常应用这种形式。

设周期为 $2 l$ 的周期函数 $f(x)$ 的傅里叶级数为
\[\tag{8-7}
\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n} \cos \frac{n \pi x}{l}+b_{n} \sin \frac{n \pi x}{l}\right)
\]
其中系数 $a_{n}$ 与 $b_{n}$ 为
\[\tag{8-8}
  \left.\begin{array}{ll}
    a_{n}=\frac{1}{l} \int_{-l}^{l} f(x) \cos \frac{n \pi x}{l} \mathrm{~d} x & (n=0,1,2, \cdots), \\
  b_{n}=\frac{1}{l} \int_{-l}^{l} f(x) \sin \frac{n \pi x}{l} \mathrm{~d} x & (n=1,2,3, \cdots) .
\end{array}\right\}
\]
利用欧拉公式
\[
\cos t=\frac{\mathrm{e}^{t \mathrm{i}}+\mathrm{e}^{-t \mathrm{i}}}{2}, \quad \sin t=\frac{\mathrm{e}^{t \mathrm{i}}-\mathrm{e}^{-t \mathrm{i}}}{2 \mathrm{i}}
\]
把 (8-7) 式化为
\end{frame}


\begin{frame}
\[\tag{8-9}
  \begin{aligned}
  & \frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{a_{n}}{2}\left(\mathrm{e}^{\frac{n \pi x}{l} \mathrm{i}}+\mathrm{e}^{-\frac{n \pi x}{l}} \mathrm{i}\right)-\frac{b_{n} \mathrm{i}}{2}\left(\mathrm{e}^{\frac{n \pi x}{l}}-\mathrm{e}^{-\frac{n \pi x}{l}} \mathrm{i}\right)\right] \\
= & \frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{a_{n}-b_{n} \mathrm{i}}{2} \mathrm{e}^{\frac{n \pi x}{l}} \mathrm{i}+\frac{a_{n}+b_{n} \mathrm{i}}{2} \mathrm{e}^{-\frac{n \pi x}{l}} \mathrm{i}\right] .
\end{aligned}
\]
记
\[\tag{8-10}
\frac{a_{0}}{2}=c_{0}, \quad \frac{a_{n}-b_{n} \mathrm{i}}{2}=c_{n}, \quad \frac{a_{n}+b_{n} \mathrm{i}}{2}=c_{-n} \quad(n=1,2,3, \cdots),
\]
则 (8-9) 式就表示为
\[
c_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(c_{n} \mathrm{e}^{\frac{n \pi x}{l} \mathrm{i}}+c_{-n} \mathrm{e}^{-\frac{n \pi x}{l} \mathrm{i}}\right)=\left(c_{n} \mathrm{e}^{\frac{n \pi x}{l} \mathrm{i}}\right)_{n=0}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(c_{n} \mathrm{e}^{\frac{n \pi x}{l} \mathrm{i}}+c_{-n} \mathrm{e}^{-\frac{n \pi x}{l} \mathrm{i}}\right) .
\]
即得\emph{傅里叶级数的复数形式}为
\[\tag{8-11}
\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{n} \mathrm{e}^{\frac{n \pi x}{l} \mathrm{i}}
\]
\end{frame}


\begin{frame}


为得出系数 $c_{n}$ 的表达式，把 (8-8) 式代人 (8-10) 式，得
\[
  \begin{aligned}
  c_{0} & =\frac{a_{0}}{2}=\frac{1}{2 l} \int_{-l}^{l} f(x) \mathrm{d} x ; \\
c_{n} & =\frac{a_{n}-b_{n} \mathrm{i}}{2}=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{l} \int_{-l}^{l} f(x) \cos \frac{n \pi x}{l} \mathrm{~d} x-\frac{\mathrm{i}}{l} \int_{-l}^{l} f(x) \sin \frac{n \pi x}{l} \mathrm{~d} x\right] \\
& =\frac{1}{2 l} \int_{-l}^{l} f(x)\left(\cos \frac{n \pi x}{l}-\mathrm{i} \sin \frac{n \pi x}{l}\right) \mathrm{d} x \\
& =\frac{1}{2 l} \int_{-l}^{l} f(x) \mathrm{e}^{-\frac{n \pi x}{l} \mathrm{i}} \mathrm{d} x \quad(n=1,2,3, \cdots) ; \\
c_{-n} & =\frac{a_{n}+b_{n} \mathrm{i}}{2}=\frac{1}{2 l} \int_{-l}^{l} f(x) \mathrm{e}^{\frac{n \pi x}{l} \mathrm{i}} \mathrm{d} x \quad(n=1,2,3, \cdots) .
\end{aligned}
\]
将已得的结果合并写为
\[\tag{8-12}
c_{n}=\frac{1}{2 l} \int_{-l}^{l} f(x) \mathrm{e}^{-\frac{n \pi x}{l} \mathrm{i}} \mathrm{d} x \quad(n=0, \pm 1, \pm 2, \cdots) .
\]
这就是\emph{傅里叶系数的复数形式}。

傅里叶级数的两种形式本质上是一样的， 但复数形式比较简洁， 且只用一个算式计算系数。
\end{frame}

\begin{frame}

  \begin{example}
  把宽为 $\tau$ 、高为 $h$ 、周期为 $T$ 的矩形波 (图 12-17) 展开成复数形式的傅里叶级数。
  \begin{figure}
  \centering
\includegraphics[max width=.5\textwidth]{2024_01_20_295afa09a60caa30a9eag-71}
\caption*{图 12-17}
\end{figure}
\end{example}
\end{frame}

\begin{frame}

\begin{solution}
在一个周期 $\left[-\frac{T}{2}, \frac{T}{2}\right)$ 内矩形波的函数表达式为
\[
  u(t)=\left\{\begin{array}{lc}
        0, & -\frac{T}{2} \leqslant t<-\frac{\tau}{2}, \\
        h, & -\frac{\tau}{2} \leqslant t<\frac{\tau}{2}, \\
      0, & \frac{\tau}{2} \leqslant t<\frac{T}{2}
\end{array}\right.
\]
按公式(8-12)有
\[
  \begin{aligned}
    c_{n} & =\frac{1}{T} \int_{-T / 2}^{T / 2} u(t) \mathrm{e}^{-\frac{2 n \pi t}{T} \mathrm{i}} \mathrm{d} t=\frac{1}{T} \int_{-\tau / 2}^{\tau / 2} h \mathrm{e}^{-\frac{2 n \pi t}{T} \mathrm{i}} \mathrm{d} t \\
  & =\frac{h}{T}\left[\frac{-T}{2 n \pi \mathrm{i}} \mathrm{e}^{-\frac{2 n \pi t}{T} \mathrm{i}}\right]_{-\tau / 2}^{\tau / 2}=\frac{h}{n \pi} \sin \frac{n \pi \tau}{T} \quad(n= \pm 1, \pm 2, \cdots), \\
c_{0} & =\frac{1}{T} \int_{-T / 2}^{T / 2} u(t) \mathrm{d} t=\frac{1}{T} \int_{-\tau / 2}^{\tau / 2} h \mathrm{~d} t=\frac{h \tau}{T},
\end{aligned}
\]
将求得的 $c_{n}$ 代人级数 (8-11), 得
\[
u(t)=\frac{h \tau}{T}+\frac{h}{\pi} \sum_{\substack{n=-\infty \\ n \neq 0}}^{\infty} \frac{1}{n} \sin \frac{n \pi \tau}{T} \mathrm{e}^{\frac{2 n \pi t}{T} \mathrm{i}} \quad\left(-\infty<t<+\infty ; t \neq n T \pm \frac{\tau}{2}, n=0, \pm 1, \pm 2, \cdots\right)
\]
\end{solution}
\end{frame}
\end{document}
